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doc/04_y_achse.md

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+# Bestimmung der Y-Rotationsachse aus Marker-Positionen
+
+## Problem
+
+Wenn der Roboter um seine Y-Achse rotiert, bewegt sich jeder erkannte Marker auf einem **Kreisbogen** im 3D-Raum. Ziel ist es, Lage und Richtung dieser Rotationsachse aus den beobachteten Marker-Positionen (x, y, z) zu mehreren Zeitstempeln zu berechnen.
+
+---
+
+## Reichen zwei Positionen?
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+**Nein.** Zwei Punkte P₁, P₂ desselben Markers definieren nur eine Strecke. Die Rotationsachse muss durch die senkrechte Mittelebene dieser Strecke laufen – aber *wo* genau in dieser Ebene und in welcher Richtung bleibt unbestimmt. Das System ist unterbestimmt.
+
+| Beobachtungen | Bestimmbar? | Begründung |
+|---|---|---|
+| 1 Marker, 2 Positionen | Nein | Achse liegt irgendwo auf einer Halbebene |
+| 1 Marker, 3 Positionen | **Ja** | Eindeutiger Umkreis → eindeutige Achse |
+| N Marker, je ≥ 3 Positionen | Ja, überbestimmt | Least-Squares, robuster gegenüber Messrauschen |
+
+---
+
+## Mathematik: 1 Marker, 3 Positionen
+
+Gegeben: P₁, P₂, P₃ ∈ ℝ³ (derselbe Marker zu drei verschiedenen Rotationswinkeln).
+
+Da die Rotation starr ist, liegen P₁, P₂, P₃ auf einem **Kreis**, dessen Ebene senkrecht zur Rotationsachse steht.
+
+### Schritt 1 – Achsenrichtung (Normalenvektor der Kreisebene)
+
+```
+v₁ = P₂ − P₁
+v₂ = P₃ − P₁
+n  = (v₁ × v₂) / |v₁ × v₂|     ← Einheitsvektor entlang der Rotationsachse
+```
+
+### Schritt 2 – Mittelpunkt des Kreises (Umkreismittelpunkt)
+
+Der Umkreismittelpunkt C liegt in der Ebene der drei Punkte und ist von allen drei Punkten gleich weit entfernt. Er ist ein Punkt **auf der Rotationsachse**.
+
+Berechnung über Baryzentrischen Koordinaten:
+
+```
+a² = |P₂ − P₃|²
+b² = |P₁ − P₃|²
+c² = |P₁ − P₂|²
+
+w₁ = a²·(b² + c² − a²)
+w₂ = b²·(a² + c² − b²)
+w₃ = c²·(a² + b² − c²)
+
+C = (w₁·P₁ + w₂·P₂ + w₃·P₃) / (w₁ + w₂ + w₃)
+```
+
+### Schritt 3 – Rotationsachse
+
+```
+Achse: r(t) = C + t·n,  t ∈ ℝ
+```
+
+---
+
+## Mathematik: N Marker, je ≥ 3 Positionen (Least Squares)
+
+Jeder Marker i liefert:
+- einen Schätzwert **Cᵢ** (Umkreismittelpunkt, Punkt auf der Achse)
+- einen Schätzwert **nᵢ** (Normalenvektor, Achsenrichtung)
+
+### Achsenrichtung (gemittelt / PCA)
+
+Wegen möglichem Vorzeichenambiguität alle nᵢ auf dasselbe Halbraum ausrichten, dann:
+
+```
+n̄ = mean(nᵢ) / |mean(nᵢ)|
+```
+
+Robuster: **PCA** über die Matrix der nᵢ-Vektoren → erster Hauptkomponentenvektor.
+
+### Achsenposition (Least Squares)
+
+Minimiere die quadratischen Abstände aller Umkreismittelpunkte Cᵢ zur gesuchten Geraden `r(t) = A + t·n̄`:
+
+```
+Abstand² von Cᵢ zur Achse = |Cᵢ − A|² − ((Cᵢ − A)·n̄)²
+```
+
+Ableitung null setzen liefert:
+
+```
+A = C̄ − (C̄·n̄)·n̄ + (C̄·n̄)·n̄ = C̄    (Referenzpunkt = Schwerpunkt der Cᵢ)
+```
+
+d. h., der **Schwerpunkt der Umkreismittelpunkte** ist der optimale Referenzpunkt auf der Achse. Die Achsenrichtung n̄ bleibt unverändert.
+
+**Verbleibender Fehler** (Residuum pro Marker):
+
+```
+εᵢ = |(Cᵢ − C̄) − ((Cᵢ − C̄)·n̄)·n̄|
+```
+
+Große εᵢ deuten auf einen fehlerhaften Marker oder eine nicht-rotatorische Bewegungskomponente hin.
+
+---
+
+## Praktische Empfehlung
+
+- **Mindestens 3 Zeitstempel** pro Marker, verteilt über einen Winkelbereich von ≥ 30° (sonst ist der Kreis numerisch schlecht konditioniert).
+- **3–4 Marker** mit je 3 Positionen sind ausreichend für eine stabile Schätzung.
+- Die Rotationswinkel müssen nicht bekannt sein – nur die 3D-Koordinaten der Marker.
+- Bei sehr kleinen Winkeln (< 10°) ist die Bestimmung numerisch instabil; größere Drehungen bevorzugen.
+
+---
+
+## Zusammenfassung
+
+```
+Eingabe:  Marker-Positionen P[marker][timestamp] ∈ ℝ³
+           (mind. 3 Timestamps pro Marker, mind. 1 Marker)
+
+Pro Marker:
+  1.  n_i = normalize((P2-P1) × (P3-P1))          ← Achsenrichtung
+  2.  C_i = Umkreismittelpunkt(P1, P2, P3)         ← Punkt auf Achse
+
+Kombination:
+  3.  n̄   = normalize(mean(n_i))                  ← beste Achsenrichtung
+  4.  C̄   = mean(C_i)                             ← bester Referenzpunkt
+
+Ergebnis: Rotationsachse  r(t) = C̄ + t·n̄
+```